Thomas-Fermi-Modell

Thomas-Fẹrmi-Modell

 

['tɔməs-], Fẹrmi-Gas-Modell, statịstisches Modẹll, von L. H. Thomas und E. Fermi (1928) entwickeltes Atommodell, nach dem die Elektronenhülle der Vielelektronenatome als ein Gas aufgefasst wird, dessen »Moleküle«, die Elektronen, der Fermi-Dirac-Statistik gehorchen. Das Thomas-Fermi-Modell ermöglicht die näherungsweise Berechnung der Elektronenverteilung in der Hülle und dadurch mittelbar die Bestimmung des auf die Elektronen wirkenden elektrostatischen Potenzials ϕ.

 

Nach diesem Modell bewegen sich die Elektronen unabhängig voneinander (Einteilchenmodell) in einem kugelsymmetrischen Potenzialfeld, in dem sie mit der potenziellen Energie V (r) = —e ϕ (r) < 0 gebunden sind (r Radius, e Elementarladung), sodass für die Gesamtenergie jedes der Elektronen gilt: E = T (p) + V (r) < 0. Dabei ist T (p) = p² / 2m die kinetische Energie, p der Impuls und m die Masse eines Elektrons. Das Potenzial ϕ (r) ist nicht von vornherein bekannt, da es nicht nur von der Ladung des Atomkerns abhängt, sondern auch von der Wechselwirkung der Elektronen untereinander. Zu seiner Herleitung wird angenommen, dass die Wirkung aller übrigen Elektronen auf jedes einzelne von ihnen sich zu einem kugelsymmetrischen effektiven Potenzial zusammenfassen lässt, dessen Summe mit dem Potenzial der Kernladung das genannte Potenzial ϕ (r) ergibt. Damit gehören zu jedem Radius r₀ ein wohldefinierter Wert V (r₀) der potenziellen Energie. In einer Kugelschale mit diesem Radius kann ein Elektron, wenn es noch gebunden sein soll, höchstens die kinetische Energie T (p₀) = —V (r₀) haben (d. h. E = 0), aus der sich sein größtmöglicher Impuls p₀ in dieser Kugelschale ergibt. Zu jeder solchen Kugelschale der Dicke dr gehört dann ein Impulsraum mit einem maximalen Impuls p₀ und dem minimalen Impuls null. Das Produkt aus der Größe dieses Impulsraums und dem Volumen der Kugelschale, dem zugehörigen Konfigurationsraum, ergibt das Volumen des zum jeweiligen Radius gehörenden Phasenraums. Dieses Phasenraumvolumen wird in Zellen der Größe h³ eingeteilt (h plancksches Wirkungsquantum), von denen jede nach den Gesetzen der Quantenstatistik genau einen Zustand enthält. Entsprechend der Fermi-Dirac-Statistik beziehungsweise dem Pauli-Prinzip kann jeder dieser Zustände mit höchstens zwei Elektronen besetzt werden. Indem man nun alle Elektronen eines Atoms auf die Phasenraumzellen verteilt, bei der niedrigsten Energie beginnend und zu höheren fortschreitend, erhält man die radiale Verteilung der Elektronen und aus dieser einen Ausdruck für die Ladungsdichte in Abhängigkeit vom Potenzial ϕ (r) und damit mittelbar in Abhängigkeit vom Radius r. Indem man diesen Ausdruck in die Poisson-Gleichung einsetzt und diese löst, erhält man die Potenzialfunktion ϕ (r) des jeweiligen Atoms.

 

Das Thomas-Fermi-Modell kann in verschiedener Form abgewandelt und verfeinert werden und gibt dann für mittlere Abstände auch die Schalenstruktur des Atoms gut wieder; dagegen ist es für kleine und für große Kernabstände nicht brauchbar. Da es vergleichsweise einfach ist, werden die nach ihm berechneten Potenzialfunktionen auch als Anfangsgrößen in rechnerisch aufwendigen iterativen Näherungsverfahren wie der Hartree-Fock-Methode verwendet, mit denen genauere Ergebnisse erzielt werden. In der Kernphysik führt seine Anwendung auf die Nukleonen des Atomkerns zum statistischen Kernmodell.